アップデート 2009.7.7

ローレンツの方程式

　ローレンッは大気の運動を解析するために、連立偏微分方程式を作った。その偏微分方程式はとても難しいので、問題を単純化して、変数変換を行うことにロリ、3元連立常微分方程式を導いた。その方程式は、a>0,n>0,c>0として

である、この方程式は3個の平衡点を持つ。微分方程式は初期値を与えれば、ずっと未来まで運動の軌跡は決まってしまうものである。ところで、ローレンツは色々計算してみて、a=10,b=28,c=8/3のとき、複雑な運動をすること発見した。EXCELを使って解いてみる。係数a=10,b=28,c=8/3（ccには　=8/3　と打ち込んである。）と初期値x₀,y₀,z₀及び刻み幅steps=0.025、繰り返し回数iteration=5000を次の様にしてみた。マクロは別に表示してある。

　図1には、横軸に時刻ｔ、縦軸にｘ座標（下側の赤い線）と座標（上側の青い線）を表示した。どちらも振動を繰り返すが、周期関数にはならない。特にxは負の値と正の値をとるが、その運動は複雑である。

図1　時間に伴う変化

　横軸にx、縦軸にyをとると、解曲線（下側の青い線）は2点の周りを回転しているが、決して周期関数にはならない。またxとzとの関係（上側の茶色の線）は、z軸に関して対称のような、そうでないような曲線になる。

図2　xとyの関係（下の青）とxとzの関係（上の茶）

　この曲線は、どんなに時間がたっても、同じ形にはならない。

参考文献
1）　丹羽敏雄：微分放映式と力学系の理論入門、遊星社
2）　筧　三郎：運動方程式方の微分積分，数学セミナー2005.04，日本評論社

問題　平衡点を求めよ。

インターネッドで運動が見られる。

1）　金丸隆志、カオス＆非線形力学入門。ローレンツアトラクター、http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/Chaos/Lorenz/

2）　THATTA ONLINE、Vol. 03 （通巻１２５）、表紙の科学　第２シリーズの２、ローレンツのカオス、http://www.asahi-net.or.jp/~li7m-oon/thatta01/th9803/lorenz_sim2.html　

3）　ProcreoFlashDesign、Flash Laboratory 、Lorenz Attractors、http://www.procreo.jp/labo/labo08.html