アップデート 2003.6.14
ニュートンの運動方程式(その2)
ニュートンの運動の第2法則は「物体が運動するときの加速度は外力に比例し、物体の質量に反比例し、その外力の作用する直線の方向に生ずる」というものである。時刻tにおいて質量mの質点に外力ｆ(t)が作用して、質点が1直線上を運動するとき、質点の位置をｘ(t)とすると、速度はdx/dt、加速度はd2x/dt2であるから、ニュートンの法則は微分方程式
md2x/dt2＝f(t)
で表される。これを直線上の運動方程式という。重力以外の外力が作用しない場合、重力gのもとで、質量mの物体を真上に投げるときの運動方程式は
mdx2/dt2＝−mg
である。mで割り、時間tに関して積分すると、
dx/dt＝−gt＋A
となる。初速度をx'０とすると、A＝x'０であるから、
dx/dt＝−gt＋x'０
が速度を与える。さらに積分すると
x＝−gt2/2＋x'０t＋B
となる。初期の位置ををx０とすると、B＝x０であるから、
x＝−gt2/2＋x'０t＋x０
ニュートンの運動方程式は,2階の単独常微分方程式であるが、この微分方程式を数値的に解くために
x'＝y
y'＝−g
と1階の連立常方程式系に変形する。すると、今までの解法がそのまま利用でき、ルンゲクッタ法のマクロは何の変更もなく利用できる。EXCELで解くためのシートを次に示す。
f(t,x,y)=y
g(t,x,y)=-g
であるから、f(t,x,y)を表す数式をセルG2に書き込む(セルH2にその内容を示している。)。またg(t,x,y)を表す数式をセルG3に書き込む。(セルH3にその内容を示している。)
参考文献：古屋茂、新版微分方程式、サイエンス社
参考文献：丹羽敏男、微分方程式と力学系の理論入門、遊星社
参考文献：森真、微分方程式で遊ぼう
問題1 ニュートンの法則に従う運動は等加速度運動であるということは、図のどの部分で分かるか。
問題2 初期位置x０(真上に投げる時の位置)を変えて、運動の変化を観察せよ。そして分かったことを報告せよ。
問題3 初速度x'０=ｙ０を変えて、運動の変化を観察せよ。そして分かったことを報告せよ。
問題4 重力加速度gの値が半分である地点から、真上に投げ上げられた物体の到達する高さは、どのようになるか。
問題5 水平方向から仰角θで投げられた物体の、垂直方向の高さをx(t)とするときの、x(t)に関する微分方程式を作れ。