アップデート 2001.3.8

1次元カオス

　ロジスティックの微分方程式
x'＝(a－bx)x
で刻み幅hを大きくすると、振動することがある。例えばa＝3、b＝1、h＝1.2で微分方程式を解くと、次の図のように振動する。これはルンゲ_クッタ法で解いた解であるが、もっと簡単なオイラー法で解いても同じ傾向がある。微分方程式を解くには、刻み幅hを小さくとることは大切なことであるが、この様な解が得られることはどうしてであろうか。

　差分方程式
x_n+1＝ax_n(1－x_n)
を適当な初期値x_nから出発して、この漸化式を何回か適用すると、一定の値に収束する。ところがaが3を越えたあたりから、振動を始める。係数aの値を横軸に、変数ｘの値を縦軸に取った図形が次の図である。

　そしてaが3.4を越えたあたりから、4つの点を順番に取るようになる。そして8つの点、16個の点、32個の点と次々に倍化してゆき、規則なく散らばる状態になる。この状態をカオスという。

　
参考文献：芹沢浩、カオスの現象学、東京図書