アップデート 2003.3.18
競争的2種の微分方程式
2種類の個体が互いに共存するのではなく、同じえさを巡って競争する生態系を考える。2種の個体数をxとyとする。資源量に限界があるえさを補食する場合には、それぞれロジスティックの成長モデルに従う。
dx/dt＝(a−bx)x (1)
dy/dt＝(k−ly)y (2)
同一のえさを巡る競争により、1つの個体は、もう一方の個体の存在により減少する。その効果はもう一方の個体数に比例すると仮定する。すると微分方程式は
dx/dt＝(a−bx−cy)x (3)
dy/dt＝(k−ly−mx)y (4)
となる。
まとめると記号を変更して
dx/dt＝(a1＋a2x＋a3y)x （a1＞0、a2＜0、a3＜0）
dy/dt＝(b1＋b2x＋b3y)y （b1＞0、b2＜0、b3＜0）
となる。
dx/dt＝0 (5)
dy/dt＝0 (6)
を満たす点がある時、その点を平衡点という。そこに達した解は、どちらも導関数が0であることにより、固体数は増加も減少もせず、一定の数にとどまる。さて連立方程式(5)(6)の解であるが、
(0,0)
(−a1/a2,0)
(0,−b1/b3)
が解であることは直ちに分かる。しかしこの平衡点では、少なくとも一方の種が存在しないことを表している。４つ目の平衡点は
a1＋a2x＋a3y＝0 (7)
b1＋b2x＋b3y＝0 (8)
の解であるから、Δ＝a2b3−a3b2とおくと
((a3b1−a1b3)/Δ,(a1b2−a2b1)/Δ) （9）
である。
直線（7）はｘ軸と(−a1/a2,0)、ｙ軸と(0,−a1/a3)とで交わる。第１象限ではｘ＞0であり、直線（7）より右の領域では、a1＋a2x＋a3y＜0であるから、ｘ'＝(a1＋a2x＋a3y)x＜0となり、ｘ方向へは減少する。すなわち解曲線は右から左へ動く。また直線（7）より左の領域ではｘ'＞0となり、ｘ方向へは増加する。すなわち解曲線は左から右へ動く。
一方直線（8）はｘ軸と(−b1/b2,0)、ｙ軸と(0,−b1/b3)とで交わる。第１象限ではｙ＞0であり、直線（8）より上の領域ではb1＋b2x＋b3y＜0であるから、ｙ'＝(b1＋b2x＋b3y)y＜0となり、ｙ方向へは減少する。すなわち解曲線は上から下へ動く。また直線（8）より下の領域ではｙ'＞0となり、ｙ方向へは増加する。すなわち解曲線は下から上へ動く。
（Ａ）共存する場合
さて、平衡点が第１象限にある1つのケースは、は、−a1/a2＜−b1/b2であり、かつ−a1/a3＞−b1/b3である場合である。2直線で区分された4つの領域で、解曲線がｘとｙのどの方向に進むか図示してみると、どこから出発した解曲線も、平衡点(９)に近づくことが分かる。
領域1では、x'＜0、y'＜0であるから、領域1内の点は常に、左下方に進む。いずれ曲線（７）または（8）と交わることになる。曲線（７）上ではdx/dt＝0であるから、解曲線はy軸に平行であり、下方に進む。一方、曲線（8）上ではdy/dt＝0であるから、解曲線はx軸に平行であり、左方に進む。同様に、領域2では、x'＞0、y'＞0であるから、右上方に進み、曲線（７）または（8）と交わる。さて、領域2の部分では、x'＞0、y'＜0であるから、右下方に進む。この場合、曲線（７）とも（8）交わることができないので、曲線（７）（8）の交点に向かう。だからこの点は安定な平衡点となる。領域4にある解も同じ平衡点に進む。
a1＝1、a2＝−1、a3＝−1、b1＝1、b2＝−0.75、b3＝−1.5のときのベクトル場を示す。((a3b1−a1b3)/Δ,(a1b2−a2b1)/Δ)＝(2/3,1/3)に方向ベクトルが向いている様子が伺える。いろいろな場所をを初期値とする解曲線を示す。全ての解曲線は平衡点（2/3,1/3）に向かって行くことが予想される。相平面上での解曲線は次の図のようになる。
（Ｂ）不安定な平衡点の場合
ところで、平衡点が第１象限にある2番目のケースは、−a1/a2＞−b1/b2であり、かつ−a1/a3＜−b1/b3である場合である。2直線で区分された4つの領域で、解曲線がｘとｙのどの方向に進むか図示してみると、どこから出発した解曲線も、平衡点（９）に近づく様に見えるが、時間の経過と共にどちらかの種が死滅することが分かる。どちらの種が死滅するかは、初期値の取り方による。すなわち最初の個体数によって、どちらが生き残るか決定されている。a1＝1、a2＝−1、a3＝−1、b1＝1、b2＝−2、b3＝−0.5のとき、いろいろな点から出発した解曲線は、一時、平衡点((a3b1−a1b3)/Δ,(a1b2−a2b1)/Δ)＝(1/3,2/3)の方向に向かうが、時間の経過と共に種ｘが死滅して(0,−b1/b3)＝(0,2)に向かうか、または種ｙが死滅して、(−a1/a2,0)＝(1,0)に向かう。2種のうちどちらが死滅するかは初期値に依存する。相平面上での解曲線は下の図のようになる。
（Ｃ）種ｙが死滅する場合
−a1/a2＞−b1/b2であり、かつ−a1/a3＞−b1/b3である場合は、初期状態がどんな値であっても、種ｙが死滅し、種ｘだけが生き延びる。a1＝1、a2＝−1、a3＝−1、b1＝1、b2＝−1.2、b3＝−1.5のとき、解曲線は、平衡点(−a1/a2,0)＝(1,0)向かって行く。相平面上で解曲線を描けば下の図のようになる。
（Ｄ）種ｘが死滅する場合
−a1/a2＜−b1/b2であり、かつ−a1/a3＜−b1/b3である場合は、初期状態がどんな値であっても、種ｘが死滅し、種ｙだけが生き延びる。
問題1：（Ａ）の場合、領域2または領域3から出る解曲線は、何故直線（7）（8）と交わることができないか。説明せよ。
問題2：（Ｂ）の場合、直線（7）（8）を図示し、解の動きを考察せよ。
問題3：（Ｄ）の場合の解曲線を描け。
参考文献：R.ハーバーマン著、稲垣宣生訳、生態系の微分方程式、現代数学社
参考文献：森田善久著、生物モデルのカオス、朝倉書店
参考文献：Ｄ.バージェス、Ｍ.ボリー著、垣田高夫、大町比佐栄訳、微分方程式で数学モデルを作ろう、日本評論社