空気中のバネの運動では空気抵抗が働く。質点と原点との距離をｘ(t)とする。振動の速度があまり大きくないときには、空気抵抗は速度x'(t)に比例する。速度に比例する抵抗は速度と逆向きに作用する。比例定数をｃとする。また原点の方向へ距離ｘ(t)に比例する引力を受ける。その比例定数をｋとする。質点の質量をmとする。バネの運動の微分方程式は
mx"＝−cx'−kx (m＞0、c＞0、k＞0)
となる。形を整えると
mx"＋cx'＋kx＝0 (m＞0、c＞0、k＞0)
となる。mで割ると
x"＋cx'/m＋kx/m＝0 (m＞0、c＞0、k＞0)
であるから、
a＝c/m
ω2＝k/m
とおくと
x"＋ax'＋ω2x＝0 (a＞0、ω＞0)
となる。a＝0のときは、抵抗がないときに相当し、単振動となる。この形の微分方程式を2階線形微分方程式という。
D＝a2−4ω2とおく
D＞0のとき、一般解は
x(t)＝C1exp(λ1t)＋C2exp(λ2t)
である。ここで
λ1、2＝(−a±
)/2＜0であるから
limx(t)＝0
t→∞
となる。バネは振動しないで指数的に減衰していく2つの関数の和である。この運動を、過減衰振動(over-damping)といい、非周期的な運動である。
D＝0のとき、一般解は
x(t)＝(C1＋C2t)eλt
である。ここで
λ＝−a/2＜0
であるから
limx(t)＝0
t→∞
となる。バネは振動しないで指数的に減衰していく2つの関数の和であるが、その差は小さい。この運動を、臨界減衰(critical damping)という。
D＜0のとき、一般解は
x(t)＝e−μt(C1cos(ωt)＋C2sin(ωt))
である。ここで
μ＝−a/2＜0
ω＝
/2であるから
limx(t)＝0
t→∞
となる。バネは振動しながら指数的に減衰していく。この運動を、1次元減衰調和振動(damped oscilaion)または減衰正弦曲線という。また隣り合う極大値の比を減衰比(damping ratio)という。その対数を対数減衰率(logarithmic decrement)という。
数値解を求めるために、次の連立微分方程式系に直す。
x'＝y (1)
y'＝−ay−ω2x (2)
ω＝1を固定して、係数aを変えてみる。a＝1のときは、Ｄ＜0となり、1次元減衰調和振動となる。a＝2のときは、Ｄ＝0となり、臨界減衰となる。a＝3のときは、Ｄ＞0となり、過減衰振動となる。初期値をｘ0＝1、y0＝10として、係数ａを変化させたときの解曲線は次のようになる。
