アップデート 2006.4.28

崩壊過程

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　マルサスの成長の方程式
x'＝ax
でa＜0の場合、a＝−k、（ただしK>0）とおくと
x₀＝x(t₀)
を初期値とする解は
x(t)＝x₀e^at＝x₀e^-ktとなる。
x₀は初期人口であるからx₀＞0である。このとき
lim x(t)＝lim(x₀e^-kt)＝0
x→∞　　x→∞
であるから、人口は時間とともに減少し、そのうちに絶滅することとなる。負の成長をする微分方程式のベクトル場を次の図に示す。解曲線とは、ここに表示されたベクトルに接する曲線のことである。

　放射性物質が放射線を放出する過程も、この微分方程式に従う。このことから、負の成長率で示される微分方程式を崩壊過程という。

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　この崩壊過程の方程式をルンゲ_クッタ法で解いてみる。
　崩壊過程の解曲線を表すEXCELのシートは次のようになる。これはセルB5に与える数値が負になっていることを除けば、マルサスの人口論と同じである。ルンゲ_クッタ法をマクロで記述した効果がここに現れている。

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　個体数が2分の1倍になるまでの時間Tを求めてみよう。
x₀/2＝x₀e^-kT
を解けばよい。両辺をx₀で割ると
1/2＝e^-kT
となる。両辺の対数をとると
−log2＝−kTであるから
T＝(log2)/k
となる。これを半減期という。半減期は初期値によらないで比例定数ｋのみによって決まる。この比例定数ｋを崩壊定数という
　EXCELでは、自然対数log2をLN(2)で表す。例えばセルB6に、比例定数kの値を与えているとき、セルB7に　=ln(2)/B6　と打ち込めば半減期Tの値が、セルB7に表示される。

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複数の曲線を同時に図示する方法
　係数の変化に伴う解曲線の違いを1つのグラフで図示する方法について説明する。崩壊曲線のデータをsheet1で計算する。Sheet2にその結果を保存しよう。
　まず、Sheet2のセルB1、C1、D1、E1に崩壊定数aの値を書き込む。書き込んだ値は、後ほど凡例として示されることになる。sheet1でa=-1のとき、ボタンをクリックすれば、tとxの値がセルC4からセルD39までに表示される。この範囲をSheet2のセルA2からセルB32までに複写する。
　次にsheet1でa=-2のときの値がセルC4からセルD39までに表示される。列Cは時刻であるので、変化していない。列Dはx値が違って表示される。sheet1のセルD4からセルＤ39までを、Sheet2のセルcC2からC32までに複写する。これでSheet2には3つの列に値が複写される。このようにしてa=-3のときのsheet1の列Dの値をSheet2の列Dに、a=-4のときのsheet1の列Dの値をSheet2の列Eに複写する。
　セルA1からセルE37までの範囲を指定してグラフを描くと、凡例が表示され、4本の曲線が図示される。凡例を表示する位置を分かりやすい場所に指定する。