アップデート 2009.5.11

電気回路

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　抵抗Rオーム、インダクタンスLヘンリー、起電力E(t)＝E₀sin(ωt＋α)ボルトの回路を流れる電流x(t)を求める微分方程式は
Ldx/dt＋Rx(t)＝E₀sin(ωt＋α)
である。Lで割ると
dx/dt＋Rx/L＝E₀sin(ωt＋α)/L
となる。ただしtは時間変数、αは初期位相である。ここでb＝R/L、c＝E₀/Lとおくと
x'＋bx＝c･sin(ωt＋α)
となる。b＝0.5、c＝1、ω＝2、α＝0のときのベクトル場は次の様になる。

　これは1階の線形常微分方程式である。解の公式より、一般解は
x＝e^-bt{∫c･sin(ωt＋α)e^btdt＋D}
＝c{bsin(ωt＋α)−ωcos(ωt＋α)}/(b²＋ω²)＋De^−bt
＝E₀{Rsin(ωt＋α)−Lωcos(ωt＋α)}/(R²＋L²ω²)＋De^−Rt/L
となる。
t＝0のときx＝0となる解は
E₀{Rsin(α)−Lωcos(α)}/(R²＋L²ω²)＋D＝0
を満たすように、任意定数Dを決めると
x＝E₀{Rsin(ωt＋α)−Lωcos(ωt＋α)}/(R²＋L²ω²)
　−E₀{Rsin(α)−Lωcos(α)}e^-Rt/L/(R²＋L²ω²)
となる。
　b＝0.5、c＝1、ω＝2、α＝0、x₀＝2、ｈ＝0.5のときの解曲線場は次の様になる。

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　三角関数と指数関数の積の不定積分は、部分積分の公式
∫f(t)g'(t)dt＝f(t)g(t)−∫f'(t)g(t)dt
を2回使う。求める積分を
I＝∫sin(ωt)e^btdt
とおくと、部分積分法により
I＝sin(ωt)e^bt/b−(ω/b)∫cos(ωt)e^btdt
となる。更にもう１度部分積分の公式を使うと
I＝sin(ωt)e^bt/b−ωcos(ωt)e^bt/b²−(ω²/b²)∫sin(ωt)e^btdt
となる、右辺に表れた不定積分は、最初に定義したものであるから、
I＝{bsin(ωt)−ωcos(ωt)}e^bt/b²−ω²I/b²
となる。移項して整理すると
(b²＋ω²}I/b²＝{bsin(ωt)−ωcos(ωt)}e^bt/b²
となるから、Iの係数b²＋ω²で割れば
I＝{bsin(ωt)−ωcos(ωt)}e^bt/(b²＋ω²）
が得られる。

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問題1　起電力の初期位相αを変化させると解はどうなるか。
問題2　xの1次の係数bを固定し、ωを変化させると解はどうなるか。
問題3　起電力E₀sin(ωt＋α)ボルトの代わりに、蓄電池E₀ボルトがあるＲＬ回路の微分方程式の解曲線を求め、図示せよ。
問題4　問題3でｔ→∞のときの状態を観察せよ。
問題5　コンデンサーＣファラッドを持つＲＣ回路の微分方程式はRdx/dt＋ｘ/C＝0である。この場合の電流ｘ(t)の解曲線を求め、図示せよ。　　　

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参考文献：古屋茂、新版微分方程式、サイエンス社
参考文献：田代嘉宏、工科の数学　微分積分、森北出版

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学生の報告書からの感想
　問題2でωを大きくとって、波形について調べている人がいた。
　この回路の外力は
　c･sin(ωt＋α)
である。外力である正弦波の周期は
　　2π/ω
である。ω＝2としているので、外力は周期πの周期関数である。数値解法は微分方程式を離散化して、時間の経過と共にｘ(t)の値を求めている。図示した例題は刻み幅ｈ＝0.5である。ということは、周期πの関数を刻み幅0.5で計算しているので、1周期の間に
　π/ｈ＝π/0.5＝2π
すなわち約6個の点でしか計算していないことになる。（本当はその2倍の点で計算している。）ここで示した図で、解曲線が、π＝3.14、2π＝6.28、3π＝9.42、4π＝12.56の付近で同一の値をとっているようなことが観測される。
　さて、ωを大きくすると、外力の周期が短くなる。振動が激しくなる、だから数値計算のために離散化した点は、外力のある特定の部分しか見ていないことになる。そのため、数値化して求めた解は本当の解とは異なった振る舞いをする。これを避けるには刻み幅ｈを小さくしなければならない。するとほんの少しの時間しか計算できない。ずっと遠くまで計算するには、計算回数を増やす必要がある。そうすると計算時間が沢山必要になる。
　数値解法では、刻み幅をいくらにするかが重要な問題になる。

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