アップデート 2008.9.24

太陽を回る地球の運動

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　全ての物体の間には引力が働いている。これを万有引力という。その大きさは両物体の質量Mとmの積に比例し、その間の距離rの2乗に逆比例する。
F＝−GMm/r²
ここで表された記号は、次の意味を持つ
Fは太陽と地球の引力の強さ
Mは太陽の質量
mは地球の質量
rは太陽と地球との距離
Gは万有引力定数

　ここで太陽を不動と考えてこれを原点にとり、そこから万有引力を受けて運動する１つの惑星(地球)を考える。太陽を中心にして、極座標に直す。
x(t)＝r･cosθ
y(t)＝r･sinθ
e_r＝(cosθ,sinθ)　　　太陽から放射線状に向かう単位ベクトル
e_θ＝(−sinθ,cosθ)　　e_rと垂直な単位ベクトル
F＝F_re_r＋F_θe_θ　　　　　力の合成
万有引力は、太陽と地球の方向のみに対して働くから
F_r＝−GMm/r²
F_θ＝0

　速度をv＝(x',y')とする。
x'＝r'cosθ−rθ'sinθ
y'＝r'sinθ＋rθ'cosθ
　加速度をα＝(x",y")とする。
x"＝r"cosθ−2r'θ'sinθ−rθ'²cosθ−rθ"sinθ
y"＝r"sinθ＋2r'θ'cosθ−rθ'²sinθ＋rθ"cosθ
内積を計算し、加速度を接線成分と法線成分の和に分けると
α･e_r＝x"cosθ＋y"sinθ＝r"−rθ'²
α･e_θ＝x'(-sinθ)＋y'cosθ＝2r'θ'＋rθ"
となるから、加速度は
α＝(r"−rθ'²)e_r＋(2r'θ'＋rθ")e_θ
となる。

　力学の法則により、万有引力の大きさはF＝mαで与えられる。
m(r"−rθ'²)＝mα･e_r＝F･e＝F_r＝−GMm/r²
m(2r'θ'＋rθ")＝mα･e_θ＝F･e_θ＝F_θ＝0
ここで
(r²θ')'＝r(2r'θ'＋rθ")＝rF_θ/m＝0であるから
r²θ'＝ a　（定数）となる。

　F_rを表す式から、b＝GMと置くと
r"−a²/r³＝−b/r²
が導かれる。

　そこで距離r(t)と速度r'(t)に関する相平面上で、解曲線を表示すると、周期解であることが分かる。

　これは、太陽を中心とした極座標系での方程式であるので、x-y座標系に直してみる。太陽の近辺では移動距離が長く(速度が早く)、太陽から遠いところでは移動距離が短い(速度が遅い)ことがよく分かる。面積速度一定の法則が目に見える。