アップデート 2008.7.5

強制振動

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　システムの外から電磁石などにより、強制力が加えられることがある。バネの運動で、速度に比例する抵抗(これは速度と逆向きに作用する)があり、かつ周期的な外力があるとき、バネの運動方程式は
m･x"＋c･x'＋k･x＝F･cos(ω₀t)　　(m＞0、c＞0、k＞0、ω₀＞0)
となる。右辺(強制力)がないとき自由振動という。ここでは右辺(強制力)がある場合を考察する。mで割ると
x"＋c･x'/m＋k･x/m＝F･cos(ω₀t)/m
であるから、a＝c/m＞0、ω²＝k/m＞0、F₀＝F/m＞0とおくと
x"＋ax'＋ω²x＝F₀cos(ω₀t)　　(a＞0、ω＞0、F₀＞0)
となる。これを強制振動(forced oscilation)という。

x"＋ax'＋ω²x＝0　　（1）
の一般解は減衰振動（2）である。
x"＋ax'＋ω²x＝F₀cos(ω₀t)　　（3）
の一般解は、(3)の特殊解として
x(t)＝p･cos(ω₀t)＋q･sin(ω₀t)　(4)
を考え、微分方程式(3)に代入する。整理して、cos(ω₀t)とsin(ω₀t)の係数がそれぞれ等しいことから、未知数pとqに関する連立1次方程式
(ω²−ω₀²)p＋aω₀q＝F₀
−aω₀p＋(ω²−ω₀²)q＝0
が得られる。ここで
W²＝(ω²−ω₀²)²＋a²ω₀²
とおくと、連立1次方程式の解は
p＝F₀(ω²−ω₀²)/W²
q＝aω₀F₀/W²
となる。pとqを特殊解の式(4)に代入すると、特殊解(4)は2つの三角関数の和になるが、合成すると
x＝Acos(ω₀t＋α)　（5）
となる。
ここで
A＝F₀/W　（6）
である。非同時方程式(3)の一般解は(2)に(5)を加えたものである。時間の経過と共に、一般解の解曲線(2)は次第に減少してゆく。従って時間の経過と共に、(5)で表される単振動に近づく。

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　抵抗Rオーム、自己伝導率Lヘンリー、コンデンサCファラド、起電力E(t)ボルトからなる電気回路で、スイッチを入れた後、時刻ｔにおける電流x(t)アンペアは
LX"＋Rx'＋x/C＝dE/dt
である。この方程式はバネの運動と同じ式になる。

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　ω＝1を固定して、ω₀を変化させた図を示す。なおx₀＝1、y₀＝1、h＝0.1、a=1、F₀＝1である。

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減衰強制振動
問題1　等式（6）を証明せよ。

問題2　a＝1、ω＝1とする。ω₀≠1を与えて、解がω₀の変化につれてどのように変わるか調べよ。

問題3　 x"＋ax'＋ω²x＝F₀exp(−ω₀t)　を解け、
　　　　指数関数　exp(z)　とは　e^zのことである。

非減衰強制振動
問題4　a＝0、ω＝1とする。ω₀≠1を与えて、解がω₀の変化につれてどのように変わるか調べよ。（a＝0だから減衰振動ではない。共振または共鳴と呼ばれる現象を確かめよ。）

問題5　a＝0、ω＝ω₀＝1のときの解曲線を求めよ。有界でない(発散する)ことを確かめよ。

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参考文献：古屋茂、新版微分方程式、サイエンス社
参考文献：丹羽敏男、微分方程式と力学系の理論入門、遊星社
参考文献：中尾慎宏、概説微分方程式、サイエンス社

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