アップデート 2001.7.2
ハミルトンの保存系
微分方程式系
dx/dt＝f(x,y) （1）
dy/dt＝g(x,y) （2）
があるとき、ある関数H(x,y)があって、
dH/dt＝(∂H/∂x)(dx/dt)＋(∂H/∂y)(dy/dt)＝0 （3）
となるとき、保存系という。このとき
∂H/∂y＝dx/dt （4）
∂H/∂x＝−dy/dt （5）
を満たしていなければならない。微分方程式の解を(x(t),y(t))とする。この解曲線に沿ってdH/dt＝0であるから、点(x0,y0)を通る解はH(x,y)＝H(x0,y0)という等高線上にある。逆に、このような条件を満たすH(x,y)が見つかれば、連立微分方程式の解は
H(x,y)＝C （6）
となる。
2階の微分方程式
x"＝g(x) （7）
を考える。連立微分方程式に直すと、運動する物体の位置x(t)とその速度y(t)との関係式は
x'＝y （8）
y'＝g(x) （9）
となる。ここでdU/dx＝−g(x)とすると、
H(x,y)＝y2/2＋U(x) （10）
となるから、この力学系は保存系である。y2/2を運動エネルギー、U(x)を位置エネルギーまたはポテンシャルエネルギー、H(x,y)を全エネルギーという。全エネルギーは力学系の不変量または保存量である。
例題：1次元自由落下の方程式
ガリレイ(Galilei)は石の高さx(t)が時間の関数tにより
x＝x0−g･(t−t0)2/2 （11）
であることを実験によって見い出した。これを微分すると
x'＝−g･(t−t0) （12）
となり、高さxの変動よりも速さy＝x'の変動の方が簡単な法則に従うことを意味している。ある量の変動を問題にする場合、その量のみならず、その量の変化の速さ、すなわち速度そのものを考慮に入れる方が良い。さらに微分すると
x"＝y'＝−g （13）
となり、加速度x"には変数は含まれていない。加速度が常に一定の値を保つと言うことがニュートン(Newton)により一般化された。
xとyの組(x,y)をシステムの相空間といい、未来、過去の総てを知るのに十分である。
連立微分方程式に直すと
x'＝y （14）
y'＝−g （15）
となる。したがって
H(x,y)＝y2/2＋gx （16）
は保存系である。
解曲線
H(x,y)＝y2/2＋gx＝C
は放物線である。
問題１ (8)(9)が保存系であることを示せ。すなわち(10)式で与えられたH(x,y)がdH/dt＝0を満たしていることを示せ。
問題２ (14)(15)が保存系であることを示せ。すなわち(16)式で与えられたH(x,y)がdH/dt＝0を満たしていることを示せ。
参考文献：古屋茂、新版微分方程式、サイエンス社
参考文献：丹羽敏男、微分方程式と力学系の理論入門、遊星社