アップデート 2003.5.13

関数値と定積分

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問題1
　自然対数関数x(t)＝log(t)は、微分方程式
dx/dt＝1/t
x(1)＝0
の解でもある。微分方程式をルンゲ_クッタ法で解いたとき数値解として得られるt＝2の時の値log(2)と、EXCELの組み込み関数値で求めたlog(2)の値を比較せよ。
参考：自然対数log(2)はEXCELでは　=LN(2)　として計算できる。10を底とする常用対数log₁₀xはEXCELでは　LOG10(x)　であり、任意の定数a(a＞0、a≠1)を底とする対数log_axはEXCELでは　LOG(x,a)　である。
自然対数=LN(2)は底を明示すれば　=LOG(2,EXP(1))　であり、底の変換公式を使えば　=LOG(2)/LOG(EXP(1))　と表すこともできる。

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問題2
　同様にlog(100)の値を2通りの方法で求めて比較せよ。

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問題3
　逆正接関数x(t)＝tan^-1tは、微分方程式
dx/dt＝1/(1＋t²)
x(0)＝0
の解でもある。微分方程式をルンゲ_クッタ法で解いたとき数値解として得られるt＝1の時の値tan^-1(1)と、EXCELの組み込み関数で求めたtan^-1(1)の値、および厳密な値π/4を比較せよ。逆正接関数x(t)＝tan^-1はEXCELでは =ATAN で表現される。従って、tan^-1(1)をEXCELで表すと、 =ATAN(1) である。

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問題4
　lim tan^-1t
　t→∞
の値はいくらであるか。微分方程式の数値解から推測せよ。

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問題5
　正規分布の累積密度関数
x(t)＝erf(t)＝∫₀^t exp(-s²/2)ds/sqrt(2π)
は、微分方程式
dx/dt＝exp(-t²/2)/sqrt(2π)
x(0)＝0
の解でもある。t＝1のとき、微分方程式をルンゲ_クッタ法で解いたとき数値解として得られるerf(t)の値を求めよ。

注意：sqrt(t)とはtの平方根のうち正の値である。sqrt(2π)をEXCELで表現すると =SQRT(2*PI()) となる。

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問題6
　lim erf(t)
　t→∞
の値はいくらであるか。微分方程式の数値解から推測せよ。

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