アップデート 2002.9.20

ロトカ_ヴォルテラの方程式

　xをサメに食べられる魚の個体数とする。サメがいないとき、非常に豊富にあるプランクトンを食べる魚の成長率x'/xは一定である。そのときの方程式はマルサスの成長方程式
　dx/dt＝ax
になる。
　魚の個体数xの成長はある大きさで止まると考える方が良い。その時はロジスティックの成長モデル
　dx/dt＝(a−bx)x
となる。
　サメが居ると、魚はサメに食べられるので、サメの数yは、魚の個体数xを減少させるであろう。その減少率x'/xはサメの個体数yに比例すると考えると
dx/dt＝(a−bx−cy)x
となる。

　サメについて考えると、魚が居ない状態では、食料源がないので、サメの死亡率は出生率を上回るだろう。したがってサメの成長率y'/yは
　dy/dt＝−ky
となる。
　魚の個体数xが増加すると、サメは食料に恵まれる。魚の個体数xに比例してサメは成長する。するとサメの成長率は　
　dy/dt＝(−k＋lx)y
となる。

　まとめると記号を変更して
dx/dt＝(a1＋a2x＋a3y)x、　（a1＞0、a2＜0、a3＜0）
dy/dt＝(b1＋b2x)y、　　　　（b1＜0、b2＞0）
となる。
　連立方程式dx/dt＝dy/dt＝0を満たす点は、(0,0)、(−a1/a2,0)、(−b1/b2,(a1b2−a2b1)/(−a3b2))である。第3の平衡点はa1b2−a2b1＞0であるとき、第1象限にあり、安定である。
　第1の平衡点(0,0)は生物が2種とも存在しない状態である。
　第2の平衡点(−a1/a2,0)はサメyが存在しない状態である。
　第3の平衡点(−b1/b2,(a1b2−a2b1)/(−a3b2))が生物が共存する状態である。

第1の例
　a1＝2、a2＝−1、a3＝−1、b1＝−1、b2＝1のときは平衡点は（1,1）となり、最初の状態がどのようであっても、時間の経過と共に一定の値（1,1）に近づく。この値は第3の平衡点(−b1/b2,(a1b2−a2b1)/(−a3b2))である。

第2の例
　a1＝1、a2＝−1、a3＝−1、b1＝−2、b2＝2、時間の経過と共に、第2の平衡点(−a1/a2,0)＝(1,0)に収束する。すなわち、捕食種yは絶滅してしまう。

問題1：第2の例で、捕食種（サメ）が死滅する理由を考えよ。
問題2：第2の例で、b1＝−0.1と変更したときの解の挙動を考えてみよ。そのようになる理由は何か。([捕食種（サメ）が死滅する]という結論は誤りである。繰り返しの回数を多くして、観察して見よ。)
問題3：第1の例（共存）と第2の例（死滅）の違いは、どこから生じるか。係数の関係から発見することができるか。
参考文献：R.ハーバーマン著、稲垣宣生訳、生態系の微分方程式、現代数学社
参考文献：森田善久著、生物モデルのカオス、朝倉書店