アップデート 2005.5.9

年代測定の問題

　フランスにあるラスコー洞窟から検出された木炭の1950年における（毎分1gごとの）崩壊数の平均は0.97であり、生きている木の崩壊数は6.68であった。木炭が形成された年代を計算して、洞窟の中に描かれた絵の年代を求めよ。

出展：Ｄ.バージェス、Ｍ.ボリー、微分方程式で数学モデルを作ろう、日本評論社

　ラザフォードは、x(t)を時刻tにおける放射性物質の中の分子の個数とするとき、x(t)は
x'＝－kx
で記述されることを示した。ｋ＞0は崩壊定数である。
問題1：初期の個数をx₀＝x(0)とするとき、 x(t)＝x₀e^-ktとなることを示せ。
　ｋが定めると放射性物質の半減期が定まる。
問題2：半減期Tは T＝(log2)/kで与えられることを示せ。
　主な放射性物質の半減期は次の通りである。

物質	半減期
キセノン133	5日
バリウム140	13日
鉛210	22年
ストロンチューム90	25年
炭素14	5568年
プリトニューム	23103年
ウラン	4.5×10⁹年

　宇宙線と大気の衝突により生み出された中性子が、大気中の窒素と結びついて炭素14を作る。生きている動植物は空気中から炭素14を取り込み、自然崩壊によって失う。この状態が過去から現在まで一定であると仮定する。崩壊率は
R(t)＝－x'(t)＝kx(t)
で与えられる。生きている木材に対して崩壊率（サンプル1グラムあたり1分ごとの）は6.68である。
　木材が成長を止めたとき、空気中から炭素14を取り込まなくなるので、炭素14は上記の微分方程式に従って減少する、成長を止めた木材の炭素14の含有量を求めれば、成長を止めた年代が測定できる。
問題3：炭素14の崩壊定数ｋを求めよ。
問題4：木炭が生成されたときの時刻をｔ＝0としよう。そのときの炭素14の個数x₀を求めよ。
問題5：崩壊率が0.97であることが分かっている1950年の時刻ｔを求めよ。（単位は年）
問題6：木炭ができた年代を推定せよ。
問題7：洞窟の絵はいつ描かれたか。