アップデート 2008.6.25
単振動
バネの自然状態からの伸び(あるいは縮み)をxとするとき、xが小さいときは、フック(Hooke)の法則により、伸びxに比例する復元力(弾力ともいう)が生じる。したがって、バネの先端につけられた質量mの質点にはf＝kxの力が働く。この比例定数k(k＞0)を弾力定数という。kは振動子のスティフネスと呼ばれる系パラメータである。よって運動方程式はこの場合
mx"＝−kx
となる。両辺をmで割ると
x"＋kx/m＝0
となる。ここでω2＝k/mとおくと
x"＋ω2x＝0 (ω＞0)
となる。2階微分方程式において、2個の任意定数を含む解を一般解という。この場合一般解は
x(t)＝C1sin(ωt)＋C2cos(ωt)
で表される。この解は三角関数の合成により
x(t)＝R･sin(ωt＋α)
とも表すことができる。
ただし
R2＝C12＋C22
cosα＝C1/R
sinα＝C2/R
である。この様に1個の正弦関数または余弦関数で表される振動を単振動(simple hrmonic motion)または1次元調和振動という。Rを振幅(amplitude)という。ωを角振動数(angular
frequency)という。αを初期位相(phase constant)という。ω/(2π)を振動数(frequency)という。T＝1/ωを振動の周期(period)という。
LC共振回路
Lx"+x/L=0
も変形すれば、x"＋ω2x＝0 (ω＞0) となる。
微分方程式を数値的に解くために
dx/dt＝y
dy/dt＝−ω2x
と連立方程式に変形する。このx(質点の位置)とy(質点の運動速度)との組(x,y)をシステムの相、または位相という。システムが取り得る相全体をシステムの相空間という。ここではxとyとの2変数であるから、相平面ともいう。システムの相空間とシステムの変動の仕組み（あるいは法則）を表す微分方程式を組にして考え、それをダイナミカル・システムまたは力学系という。定数kはバネの質量によって定まる。この力学系を調和振動子または線形振動子という。
微分方程式系
dx/dt＝y
dy/dt＝−ω2x
は保存系である。全エネルギーは
H(x,y)＝y2/2＋ω2x2/2＝C
である。C＞0の場合は、解曲線は楕円である。2つの軌道
y2/2＋ω2x2/2＝C1 (1)
y2/2＋ω2x2/2＝C2 (2)
があるとする。この2つの解曲線が点(x0,y0)を通るとすれば、(1)より
y02/2＋ω2x02/2＝C1
(3)
となり、(2)より
y02/2＋ω2x02/2＝C2
(4)
となる。(3)−(4)から
C1＝C2
がえられるので、2つの軌道は一致する。これは2つの軌道が交わらないことを示している。すなわち微分方程式の解の一意性が言える。C＝0の場合は、解曲線は1点(0,0)に退化している。この系の不動点は原点(0,0)だけである。
横軸に時間軸をとり、縦軸に変位ｘと速度ｙを同時に表示すると、次の様になる。
同じ図形を、横軸に変位ｘを、縦軸に変位ｙをとると、次の相平面が得られる。周期解であることがよく分かる。
次の単振動の解曲線を求め、全エネルギーを計算せよ。
問題1
x"＋ｘ＝0
x(0)＝1
x'(0)＝2
問題2
x"＋4ｘ＝0
x(0)＝3
x'(0)＝2
問題3 問題に与えられていない単振動の方程式を1つ考えよ。そして全エネルギーを計算せよ。係数や初期値を整数にする必要はない。他人と異なるものを考えよ。
参考文献：古屋茂、新版微分方程式、サイエンス社
参考文献：丹羽敏男、微分方程式と力学系の理論入門、遊星社