アップデート 2002.9.20

同次系の相平面(線形自励系)

　a、b、c、dを定数とする。
dx/dt＝ax＋by
dy/dt＝cx＋dy
という連立線形微分方程式系を考える。この解をx＝x(t)、y＝y(t)とするとき、点(x(t),y(t))の軌跡は平面上の曲線を表す。この平面を相平面といい、解を描く曲線を解軌道という。定数関数x(t)＝0、y(t)＝0は連立線形微分方程式系を満たすから解である。これは特別な解である。点(0,0)を特異点または危点という。2次正方行列を
A＝
2次元列ベクトルを
X＝
とおく。連立線形微分方程式系を、行列で表現すると
dX/dt＝AX
となる。ここで解を表すベクトルを
X＝v0eλt
と仮定して、微分方程式に代入すると
λv0eλt＝Av0eλt
となる。2次の単位行列をEとおくと、
(λE−A)v0eλt＝0
となる。v0eλt≠0
であるとき、行列式に関して
det(λE−A)＝|λE−A|＝0
でなければならない。具体的に書くと
(λ−a)(λ−d)−bc＝λ2−(a＋d)λ＋(ad−bc)＝0
ここで
P＝tr(A)＝a＋d
Q＝det(A)＝ad−bc
Δ＝P2−4Q＝(a−d)2＋4bc
とおくと、2次方程式の2つの解は
λ1,2＝(P±)/2
となる。λ1,2を固有値、λV＝AVを満たすベクトルVを固有ベクトルという。このようにして
A＝
が正則行列である場合、これを正則行列Ｇを用いてＪ＝Ｇ-1ＡＧの形のジョルダンの標準形に直すと、次の4つに分類される。λ、μを、固有方程式
det(A−λE)＝λ2−Pλ＋Q＝0
の２つの解とする。

分類1　λ＝（Ｐ±）/2であるから、Δ＞0のとき、λ1,2は異なる実数である。これらをλとμとする。λとμとが同符号であることと、｜Ｐ｜＞であることは同値である。Ｐ2＞Δ＝P2−4Qとなり、Ｑ＞0と同値になる。このときＰ＞０はλとμが正数であることを意味し、Ｐ＜０はλとμが負数であることを意味している。λとμのうち、どちらかが0であるとき、Ｐ＝±である。2乗するとＰ2＝Δ＝P2−4Qとなり、Ｑ＝0が成立つ。Ｐ＞０はもう1つの実数が正であるであり、Ｐ＜０はもう1つの実数が負であるである。λとμとが異符号であることＱ＞0であることは同値である。まとめると

型
 Δ Ｑ Ｐ λとμの関係
（1−1） ＋ ＋ ＋ 0＜λ＜μ
（1−2） ＋ 0 ＋ 0＝λ＜μ
（1−3） ＋ − 任意 λ＜0＜μ
（1−4） ＋ 0 − λ＜μ＝0
（1−5） ＋ ＋ − λ＜μ＜0
となり、ジョルダンの標準形
(1)　Ｇ＝ 　　　(λ＜μ)
となる。

(1−1)　0＜λ＜μ のとき点(0,0)を不安定な結節点(node)という。
　例　x'＝x
　　　y'＝ay　　(a＞0)
　それぞれ、線形微分方程式である。一般解は
x＝Aet
y＝Beat
変数tを消去すると
y＝Cxa となる。t→∞のとき｜x｜も｜y｜も限り無く大きくなる。したがって、相平面上では、任意の点から出発した解曲線は、原点からしだいに遠去かる。原点(0,0)は、微分方程式を満たす特別な点であるが、原点(0,0)から極わずかに離れた2点を通る曲線は、時間の経過とともにしだいに離れてゆく。なおdy/dx＝aCxa-1であるので、0＜a＜1のとき原点の近くでは、|dy/dx|の値が大きくなる。すなわち、曲線はy軸に寄り添うように描かれる。a＞1のとき、原点の近くでは、dy/dx≒0である。すなわち、曲線はx軸に寄り添うように描かれる。図に示した微分方程式は
x'＝2x
y'＝3y
の解を8個の異なる初期値から解いたものである。解は全て原点から遠去かっている。

(1−2)　0＝λ＜μの場合
　例　x'＝0
　　　y'＝ay　　(a＞0)
　積分すると、
x＝A
y＝Beat
一般解はx＝Aであり、y軸に平行(x軸に垂直な)直線群になる。図は
x'＝0
y'＝y
の解曲線である。t→∞のとき、｜y｜→∞であるから、x軸に近い点から出発した解でも、いずれx軸から遠去かっていく様子を示している。

(1−3)　λ＜0＜μの場合、点(0,0)を鞍点という。（不安定である。）
　例　x'＝-x
　　　y'＝ay　　(a＞0)
　積分すると、
x＝Ae-t
y＝Beat　　(a＞0)
y＝Cxa
t→∞のときx→0、｜y｜→∞である。x軸の近くにある全ての解曲線は、x軸から遠去かる。原点(0,0)は、微分方程式を満たす特別な点であるが、原点付近から出発した解は原点付近に留まることはできない。なおdy/dx＝aCxa-1である。図は
x'＝−2x
y'＝3y
のときの8個の異なる点から出発する解曲線を示している。

(1−4)　λ＜μ＝0の場合
　例　x'＝ax　　(a＜0)
　　　y'＝0
　積分すると、
x＝Aeat
y＝B
一般解はy＝Bであり、y軸に平行(x軸に垂直な)直線群になる。図に示した解曲線(直線)は、t→∞のときx→0であるから、y軸に向かっている。

(1−5)　λ＜μ＜0 の場合、点(0,0)を安定な結節点という。
　例　x'＝−x
　　　y'＝ay　　(a＜0)
　積分する。
x＝Ae-t
y＝Beat
変数tを消去する。
y＝Cx-a
t→∞のときx→0、y→0である。したがって、相平面上では、全ての解曲線は、原点に近づく。なおdy/dx＝−aCx-(a+1)/であるので、a＜−1のとき原点の近くでは、|dy/dx|の値が大きくなる。すなわち、曲線はy軸に寄り添うように描かれる。−1＜a＜0のとき、原点の近くでは、dy/dx≒0である。すなわち、曲線はx軸に寄り添うように描かれる。図は
x'＝−4x
y''＝−y
の場合の解曲線であり、全ての解曲線は原点に向かう。

分類2、3　λ＝（Ｐ±）/2であるから、Δ＝P2−4Qのときは2重解となる。このときＪ＝Ｇ-1ＡＧの形のジョルダンの標準形は(2)と(3)の2つの形になる。まとめると

型
 Δ Ｐ

Ｑ
 λ (1,1)成分
（2−1） 0 ＋ P2/4 ＋ 0
（2−2） 0 − P2/4 − 0
（3−1） 0 ＋ P2/4 ＋ 1
（3−2） 0 0 0 0 1
（3−3） 0 − P2/4 ＋ 1
となる。
(2)　　　　(λ≠0)
(3)　 　　(λ≠0)

(2−1)　、λ＞0のとき、点(0,0)を星形結節点という。
　例　x'＝x
　　　y'＝y
　それぞれ積分する。
x＝Aet
y＝Bet
変数tを消去する。
y＝Cx
t→∞のとき｜x｜も｜y｜も限り無く大きくなる。したがって、相平面上では、全ての解曲線は、原点を通る直線に沿って原点から遠去かる。

(2−2)　、λ＜0の場合
　例　x'＝−x
　　　y'＝−y
　それぞれ積分する。
x＝Ae-t
y＝Be-t
変数tを消去する。
y＝Cx
t→∞のときx→0、y→0である。したがって、相平面上では、全ての解曲線は、原点を通る直線に沿って原点に近づく。

(3−1) 　、λ＞0の場合
　例　x'＝ax＋y　　(a＞0)
　　　y'＝ay
　第2式を積分する。
y＝Aeat
第1式に代入する。
x'−ax＝Aeat
線形微分方程式の解の公式より
x＝eat{∫Aeate-atdt＋B}
　＝eat(At＋B)
　＝y{(1/a)log|y|＋B/A}
　＝y(C1log|y|＋C2)
この曲線は、対数螺旋である。図では解曲線が原点から遠去かっている様子を示している。

(3−2)　 、λ＝0の場合
　例　x'＝y
　　　y'＝0
　第2式を積分する。
y＝A
第１式に代入する。
x'＝A
積分する。
x＝At＋B
この曲線ｘ軸に平行な直線群である。初期値を(a,b)とする解曲線は
x(t)＝bt＋a
となる。x軸から離れているほど速く進む。y＞0のとき右方向へ、y＜0のとき左方向へ進む。

(3−3)　、 λ＜0の場合
　例　x'＝ax＋y　　(a＜0)
　　　y'＝ay
　第2式を積分する。
y＝Aeat
第１式に代入する。
x'−ax＝Aeat
線形微分方程式の解の公式より
x＝eat{∫Aeate-atdt＋B}
　＝eat(At＋B)
　＝y{(1/a)log|y|＋B/A}
　＝y(C1log|y|＋C2)
この曲線は、対数螺旋である。
limy(t)=0
t→∞
であるから任意の初期値から出発した解は全て原点に向かう。

分類4　λ＝（Ｐ±）/2であるから、Δ＝P2−4Q＜0のときは共約な複素数解となる。このときＪ＝Ｇ-1ＡＧの形のジョルダンの標準形は

型
 Δ Ｐ α λ (1,1)成分
（4−1） − ＋ ＋ ＋ 0
（4−2） − 0 0 − 0
（4−3） − ＋ - ＋ 1
となる。
(4)　 　　(β＞0)

(4−1) α＞0 の場合、点(0,0)を不安定な渦心点または(渦状点)(focus)という。曲線は対数螺旋となる。解曲線は原点から遠去かる方向に進む。

(4−2)　 α＝0の場合、点(0,0)を中心または渦心点(center)という。（安定である。)
x'＝2y
y'＝−2x
のとき、解曲線は円軌道であり、時計の針の進行方向に進む。

(4−3) 　α＜0 の場合、点(0,0)を安定な渦心点または（渦状点）(focus)という。曲線は対数螺旋となる。任意の点を出発した解は原点に向かう。

(0,0)の近くで、次の微分方程式の解の様子を調べよ。
問題１
x'＝x
y'＝y
問題2
x'＝x
y'＝3y
問題3
x'＝−x
y'＝x−2y
問題4
x'＝y
y'＝−x＋y
参考文献：村上温夫、微分方程式入門、新曜社